Linear Algebraic equation - homogeneous system

우선 연립방정식을 system이라고 표현함을 기억하자.

 

그렇다면 homogeneous system이란 무엇일까?

AX=B 에서 B=0인 특이한 구조를 뜻한다. 즉 AX=0

 

AX=0 , homogeneous system 정의

수학에서 어떠한 구조를 따로 정의한다는 것은 중요하다는 말이다.(괜히 따로 정리하고 그러는게 아님)

homogeneous system은 우선 consistent하다(해가 존재한다.)

- 왜냐하면 일단 X=0, 즉 x1=0, x2=0, ... , xN=0 이라면 식이 성립하므로 이미 1개는 존재. (해가 1개일지 여러개일지는 모름)

- X=0 인 solution(해) 를 trivial solution 이라고 하는데 한국어로는 진부한, 당연한 해 라는 뜻이다.

 

기존에 AX=B 의 solution을 구하는 방법은 UX=C로 치환하는 것이다.

AX=0 이므로 UX=0으로 치환. 이 또한 예시로 쉽게 알아보자.

가우스 소거법 과정은 생략한다. 정리하면 다음과 같다.

미지수는 x,y,z 3개이고 방정식은 2개가 존재하므로 이는 무수히 많은 해를 가지게 된다.

- z=t 로 표현한다면 y=-2t, x=t임을 확인할 수 있다.

 

++일단 암기

UX=C 에서 U matrix의 대각요소 중 0이 없다면 AX=B는 unique solution을 가진다.

이는 행렬식에 의해 증명되는데, 이는 이후에 소개한다. 일단 암기

 

++homogeneous system 에서는?

일단 모든 x=0 인 trivial solution이 존재한다. 근데 unique solution?

- 결국 trivial solution = unique solution이 되는 것을 확인할 수 있다.

++ homogeneous system에서 U matrix의 diagonal elements(대각 요소) 중 0 이 존재하는 경우 -> 해가 무수히 많이 존재한다.