Linear Algebra - Linear combination of vectors

Linear combination of vectors : 선형결합

 

선형결합이 무엇인지 먼저 알 필요가 있다.

u 라는 벡터가 있다고 하자. 이때 u라는 벡터가 v1, v2, ... ,vN(다른 벡터들)의 선형결합으로 표현될 수 있다는 얘기이다.

 

u = a₁v₁+a₂v₂+ ... + a_Nv_N  이는 v1,v2,...,vN의 벡터들을 선형결합하여 벡터 u를 표현했다고 말할 수 있다.

 

예시를 통해 살펴보자.

(5, -3, -4)라는 벡터 u가 있을 때, 이는 (1,1,0) 벡터 v1, (3,0,1) 벡터 v2, (0,1,3) 벡터 v3의 선형결합으로 표현될 수 있는가?

이를 풀기 위해 이때까지 배워왔던 AX=B system을 푸는 방식을 적용하게 된다.

 

kA는 A의 element에 k를 곱한 것이므로 a(1,1,0) 은 (a,a,0)이 된다.

 

변수를 a,b,c로 두고 AX=B를 표현할 경우 다음과 같다.

다음과 같은 3차 연립방정식을 이전에 배웠던 가우스소거법을 이용하여 풀면 된다.

최종 결과

가우스 소거법 결과 대각행렬에 0이 존재하지 않으므로 unique solution 이 존재한다.

c = -2, b=2, a = -1 임을 확인할 수 있다.

 

따라서 (5, -3, -4) 벡터 u 를 세 벡터 v1(1,1,0) , v2(3,0,1) , v3(0,1,3)의 선형결합으로 표현할 수 있음을 확인했다.

이를 Linear combination이라고 부른다.

가끔 물리학에서는 어떤 현상을 다른 현상들의 합으로 표현함으로써 문제를 해결할 수 있으므로 중요한 개념중에 하나다.